TIN TỨC KHÁC

Trường THCS Định Công: Một số phương pháp sử dụng Bất đẳng thức trong giải toán THCS
Ngày đăng 29/08/2019 | 11:04  | View count: 737

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp sử dụng Bất đẳng thức trong giải toán THCS

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

     1. Cơ sở khoa học:

     Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả. Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa Toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có được những phương pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán.

     Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học từ Tiểu học đến Trung học. Việc nắm vững các phương pháp giải Bất đẳng thức không những giúp học sinh học tốt bộ môn Toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học khác như Hoá học, Vật lí, Tin học…,đặc biệt nó giúp cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo một cách tốt nhất.

     Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm dạy bồi dưỡng học sinh giỏi và qua  quá trình tìm tòi bản thân tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải Bất đẳng thức mà thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải tốt các bài toán về bất đẳng thức góp phần nâng cao tư duy toán học, tạo diều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nói chung.

     2. Cơ sở thực tiễn

     Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS vẫn coi là loại toán khó. Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phương pháp giải loại toán này như thế nào.

     Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chương trình THCS, nhưng không được hệ thống thành những phương pháp nhất định gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp và giải quyết loại toán này.

     Các bài toán có liên quan tới Bất đẳng thức hầu như có mặt ở mọi đề thi kể cả các đề thi tốt nghiệp cho đến đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 trung học phổ thông.

     Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phương pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung nhiều vào kho kiến thức của mình. Đối với học sinh sẽ khắc phục được những hạn chế trước đây giúp các em có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán.

     Với bản thân mình, tôi xây dựng thành kinh nghiệm về: “Một số phương pháp sử dụng Bất đẳng thức trong giải toán THCS”.

     II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

     Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng thức nói riêng, đặc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 THPT .

     Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phương pháp giải Bất đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập.

     III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

     Nghiên cứu các phương pháp giải Bất đẳng thức

     Thông qua nội dung phgương pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh

     Rèn kĩ năng cho học sinh qua các bài tập đề nghị.

     IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ SỬ DỤNG:

     Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS.

     Bồi dưỡng cho giáo viên và học sinh THCS.

     V. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU:

- Đề tài được nghiên cứu trong năm học 2018 – 2019.

- Kế hoạch nghiên cứu:

+ Tháng 5 – tháng 6/2018: Suy nghĩ, thảo luận, tìm kiếm vấn đề nghiên cứu và nghiên cứu lý thuyết.

+ Tháng 7- tháng 8/2018: Xây dựng đề cương SKKN, hoàn  chỉnh các biểu mẫu điều tra.

+ Tháng 9/2018 – tháng 1/2019: Tiến hành điều tra, xử lý số liệu cho vận dụng vào thực tế giảng dạy môn Đại số tại lớp 8C.

+ Tháng 2/2019: Tiến hành viết SKKN

B. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

     I. Định nghĩa: Cho hai số: a, b ta nói số a lớn hơn số b, kí hiệu là: a > b nếu a – b > 0; số a nhỏ hơn số b, kí hiệu là a < b nếu a – b < 0.

     II. Tính chất:

1. a > b   b < a

2. a < b, b < c  a < c ( tính chất bắc cầu)

3. a < b  a + c < b + c   ( tính chất đơn điệu)

4. a < b, c < d  a + c < b + d  ( cộng hai vế của một bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều với chúng)

5. a < b, c > d  a – c > b – d  ( trừ hai bất đẳng thức ngược chiều ta được một bất đẳng thức có chiều là chiều của bất đẳng thức bị trừ)

6. Nhân hai vế của bất đẳng thức a < b với cùng một số m thì

A < b

7. Nhân hai vế của hai bất đẳng thức không âm cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều : 0 < a < b, 0 < c < d  a.c < b.d

8. a > b > 0  an > bn ; 0 > a > b  an+1 > b2n+1 và an < b2n

9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số : m > n > 0; a >1  am > an ; am < an với 0 < a < 1

10. Nghịch đảo hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức đổi chiều:

Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ điịnh nghĩa và các tính chất trước đó.

     III. Một số Bất đẳng thức cần nhớ:

  1. a2k  0 với mọi a ( k nguyên dương). Dấu “ =” xảy ra khi a = 0.
  2. . Dấu “ =” xảy ra khi a = 0.
  3. . Dấu “ =” xảy ra khi ab  0.
  4. - . Dấu “ =” xảy ra khi a = 0.
  5. . Dấu “ =” xảy ra khi  và .
  6. a  b; ab  0  . Dấu “ =” xảy ra khi a = b.
  7.  với a, b cùng dấu, Dấu “ =” xảy ra khi a = b.
  8. Bất đẳng thức Cauchy:

+) Đối với hai số dương a, b bất kì:  hoặc a2 + b2  2ab.

Dấu “ =” xảy ra khi a = b.

+) Đối với mọi ai  0; I = 1,…,n. Ta có : 

Dấu “ =” xảy ra khi ai = 0.

  1. Bất đẳng thức BunhiaCôpxki:

Nếu (a1, a2, … , an) và ( b1, b2, … , bn) là những số tuỳ ý, ta có:

(a1 2+ a2 2+… + an 2).(b1 2 + b2 2+… +bn 2)  (a1b1 + a2b2 + … + anbn )2

Dấu “ = “ xảy ra khi

  1.  Bất đẳng thức Trêbưsep :

+) Nếu 

thì:     n.(a1b1 + a2b2 +… + anbn)  ( a1 + a2 + … + an).( b1 + b2 +… + bn).

Dấu “ = “ xảy ra khi ai  = aj  hoặc bi  = bj.

Nếu

Thì : n.(a1b1 + a2b2 +… + anbn)  ( a1 + a2 + … + an).( b1 + b2 +… + bn).

Dấu “ = “ xảy ra khi ai  = aj  hoặc bi  = bj.

Chú ý: - Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các bất đẳng thức đúng khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập  cần chú ý.

  •  Khi chứng minh xong bất đẳng thức a  b ta phải xét trường hợp dấu “ = “ xảy ra khi nào.

* Kết quả điều tra tháng 8/2018 (bài khảo sát chất lượng đầu năm) môn Toán (có bài chứng minh bất đẳng thức) tại 2 lớp mà tôi được phân công giảng dạy:

+ Kiểm tra lớp 8C - Tổng số học sinh: 45 học sinh

Lớp

Sĩ số

Số học sinh giải được

Số HS biết hướng nhưng không giải được

Số HS không thể giải được

SL

%

SL

%

SL

%

8C

45

23

51,1

15

33,3

7

15,6

+ Kiểm tra lớp 9B - Tổng số học sinh: 42 học sinh

Lớp

Sĩ số

Số học sinh giải được

Số HS biết hướng nhưng không giải được

Số HS không thể giải được

SL

%

SL

%

SL

%

9B

42

13

30

15

35,7

14

33,3

C. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I- Phương pháp 1: Phương pháp dùng định nghĩa:

1. Nội dung phương pháp:

Để chứng minh bất đẳng thức A > B ta chứng minh bất đẳng thức A – B > 0

2. Kiến thức cần vận dụng:

- Các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.

- Tổng quát:    ( j = 2,…n) , i < j

- Các kĩ năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế các bất đẳng thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài.

3. Bài tập áp dụng:

3. Bài tập đề nghị      

II . Phương pháp 2 : Dùng tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi tương đương.

  1. Nội dung phương pháp:

Khi chứng minh một bất đẳng thức nào đó ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đúng hoặc một bất dẳng thức đã được chứng minh hoặc điều kiện của đề bài.

  1. Kiến thức cơ bản:

Các tính chất của bất đẳng thức.

Các bất đẳng thức thường dùng.

Kỹ năng biến đổi tương đương một bất đẳng thức.

Các hằng đẳng thức đáng nhớ.

  1. Bài tập mẫu.

      4. Bài tập áp dụng:

III. Phương pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số

  1. Nội dung phương pháp:

Khi vận dụng các tính chất của tỉ số thì việc chứng minh bất đẳng thức trở nên rất nhanh và gọn.

  1. Kiến thức cần vận dụng:
  • Với ba số dương a, b, c
  • Nếu  thì       Dấu “=” xảy ra khi a = b.
  • Nếu  thì       Dấu “=” xảy ra khi a = b.
  • Nếu b, d > 0 và    Dấu “=” xảy ra khi ad = bc.
  1. Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác:

          Chứng minh rằng :

Giải: Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có:

 a, b, c > 0 và a + b > c; b + c > a; c + a > b.

Từ a + b > c

Chứng minh tương tự ta có:

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta được:

               

     Ta có:

Vậy     (Đpcm).

Nhạn xét: ở đây ta đã sử dụng tính chất : Với ba số dương a, b, c:

          Nếu  thì       Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Bài 2: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng:

                         

Giải:

Ta chứng minh:        

Do a > 0 ta có  Tương tự ta có

Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cuối cùng ta được:

 (1)

Ta lại chứng minh: 

Do a, b > 0 nên ta có         Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức này ta được:   (2).

Từ (1) và (2) suy ra :

4.  Bài tập đề nghị.

1.Chứng minh rằng :

2. Cho a, b là các số dương thoả mãn a.b = 1. Chứng minh rằng:

3. Cho    chứng minh rằng :

IV. Phương pháp 4 : Phương pháp phản chứng:

  1. Nội dung phương pháp:

Để chứng minh A  B ta giả sử A < B rồi suy ra một điều vô lý với giả thiết hoặc các hằng bất đẳng thức rồi từ đó khẳng định A  B là đúng.

  1. Kiến thức cần dùng:

Các tính chất của bất đẳng thức.

Các bất đẳng thức có sẵn.

Kĩ năng biến đối tương đương một bất đẳng thức.

Các hằng đẳng thức và các hằng bất đẳng thức.

  1. Bài tập mẫu

Bài 1: Cho  0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau sai:  a(1 – b) > 0,25 ; b( 1 – c) > 0,25 ; c(1 – a) > 0,25.

Giải: Giả sử cả ba bất đẳng thức:

 a(1 – b) > 0,25 ; b( 1 – c) > 0,25 ; c(1 – a) > 0,25.   đều đúng, khi đó:

 a(1 – b)b( 1 – c)c(1 – a) > 0,253. (1)

Mặt khác ta có: a(1 – a) = a – a2 = 0,25 – ( a2 – 2.a.0,5 + 0,25)

                                       = 0,25 – ( a – 0,5)2  0,25. Suy ra :   a(1 – a)  0,25.

Tương tự ta có :     b(1 – b)  0,25 ; c( 1 – c)  0,25.

Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta được:

A(1 – b)b(1 – c)c(1 – a) < 0,253  (2).

Ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2). Vậy điều giả sử là sai, suy ra trong các bất đẳng thức sau: a(1 – b) > 0,25 ; b( 1 – c) > 0,25 ; c(1 – a) > 0,25  có ít nhất một bất đẳng thức sai.

Chứng minh rằng không có ba số x, y, z mà có thể thoả mãn đồng thời ba bất đẳng thức sau:    .

Giải : Giả sử phán chứng cả ba bất đẳng thức trên không có bất đẳng thức nào Bài 2: sai, nghĩa là cả ba bất đẳng thức đó đều đúng. Khi đó:

 x2 < (y – z)2 x2  -  (y – z)2 < 0 (x – y + z)(x + y - z) < 0.

Tương tự ta có:  ( y – x + z)(y + x – z) < 0 và (z – y + x)(z + y – x) < 0.

Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta được:

              [(y – x + z)(y + x – z)(x – y + z)]2 < 0  vô lý.

Vậy không có ba số x, y, z nào thoả mãn đồng thời cả ba bất đẳng thức :

                              

Bài 3: Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện 

Hãy chứng minh rằng: a, b, c > 0   (*).

Giải: Giả sử (*) không đúng. Như vậy có ít nhất một trong ba số a, b, c phải 0. Không mất tính tổng quát giả sử a  0. Do abc > 0 nên suy ra: bc < 0.

 Xét trường hợp a  0, b > 0, c < 0. Suy ra : a + c > 0.

Từ giả thiết ta có: b > - a – c  b(a + c) < - (a + c)2

 ac + b(a + c) < ac – (a + c)2 ac + b(a + c) < - ( - ac + a2 + c2)

ac + ba + bc < - (a – 0,5c)2 – 0,75 c2   0.

Điều này trái với giả thiết ab + bc + ca > 0.

Tương tự đối với trường hợp A 0, b < 0, c > 0 ta cũng suy ra điều vô lý.

Vậy (*) được chứng minh.

Bài 4: Chứng minh rằng : Tổng của một phân số dương và nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2.

Giải:

 Giả sử phản chứng  ta có:   ( vô lý).

Suy ra điều phải chứng minh.

4.  Bài tập đề nghị

  1. Cho ba số dương a, b, c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai : a(2 – b) > 1 ; b(2 – c) > 1 ; c(2 – a) > 1.
  2. Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

                S = (a – 1 + b-1)(b – 1 + c-1)(c – 1 + a-1)  1.

3. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn:

Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức sai:  ax2 + bx + c  y ; ay2 + by + c  z ; az2 + bz + c  x.

V. Phương pháp 5: Phương pháp quy nạp

1. Nội dung phương pháp:

Có rất nhiều các bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thường thì không thể chứng minh được. Thường các bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc những bất đẳng thức tổng quát, và để chứng minh các bất đẳng thức này ta dùng phương pháp quy nạp.

Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với mọi n, bằng quy nạp ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra xem bất đẳng thức đứng với n  n0 nào đó ( thông thường ta chọn n0 = 0 hoặc 1).

Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k.

Bước 3: Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k +1.

Bước 4: Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n.

2. Kiến thức cần vận dụng:

-Các tính chất của bất đẳng thức.

Kỹ năng biến đổi đẳng thức và bất đẳng thức.

3. Bài tập mẫu:

Bài 1: Chứng minh rằng:   [( a + b) : 2]n ( an + bn ) : 2 với a + b  0 và n là số tự nhiên.

Giải:

+) Với n = 1 ta có ( a + b) : 2  (a + b) : 2  đúng.

+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là [(a + b)2 : 2]k ( ak + bk) : 2.

+) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Tức là : [(a + b) : 2]k+1 ( ak+1 + bk+1) : 2.

Thật vậy:

Xét [(a + b) : 2]k+1 = [(a + b) : 2]k. [(a + b) : 2]  [(ak + bk) : 2].[(a + b) : 2].

Ta chứng minh:

(ak + bk).(a + b)  2(ak+1 + bk+1)         ak+1 + bk+1 + akb + abk 2( ak+1 + bk+1)

   Ak+1 + bk+1 – akb – abk 0       ( a – b)( ak  - bk)   0  (*)

Nếu a, b  0 thì (*) đúng.

Nếu a  0  b        a – b  0. Mà a + b  0 (gt)    a  - b    =>  a

  • ak   bk =>ak – bk 0  => (*) đúng.

Chứng minh tương tự  cho trường hợp  a  0  b ta được (*) đúng

Do a+ b   0 nên a,b không cùng <0

Vậy (*) đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đè bài.

Vậy bất đẳng thức [(a+b):2]n   ( an + bn ) : 2 với a+b 0 và n  N được chứng minh.

Bài 2: Cho tam giác vuông a,b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của tam giác đó. Chứng minh rằng: b2n + a2n c2n

Giải: + Với n 1 theo định lý Pitago ta có b2 + a2 = c2. Bất đẳng thức  đúng.

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k tức là b2k + a2k c2k

+ Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k+ 1 hay b2k+1 + a2k+1 c2k+1

Thật vây: ta có c2(k+1)  = c2k+2  = c2k. c2 ( a2k + b2k ) ( a2 + b2)

                                               = a2k+2 + a2k . b2 + b2k. a2 + b2k+2 a 2k+2 + b2k+2

                                            => b2(k+1) + a2(k+1) c2(k+1)   (đpcm)

4. Bài tập đề nghị:

Bài 1: a. Chứng minh rằng với n 3 ta có 2n > 2n + 1

          b. Chứng minh  1.2.3….n < 2-n (n+1) .n

          c.  n  1, chứng minh

Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

  1. 2n+2 > 2n + 5 với  n  1, n  N.
  2. [(n + 1) !]n 2!.4!.....(2n)! với  n, n  N*.
  3. (2n)! < 22n(n!)với  n, n  N*.

VI. Phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác

  1. Nội dung phương pháp

Nhiều bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình nên khi giảI bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của bất đẳng thức ta phảI sử dụng cả các tính chất khác đặc biệt là bất đẳng thức trong tam giác.

  1. Kiến thức cần vận dụng
  • Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có a, b, c > 0
  • Một số quan hệ khác trong tam giác.
  1. Bài tập mẫu

Bài 1: Cho a, b, c là đọ dài ba cạnh trong một tam giác. Chứng minh rằng:

(a + b + c)2 9bc. Biết a  b  c.

Giải: Ta có a + b + c  2b + c do a  b. Ta chứng minh ( 2b + c)2 9bc (1).

(1) 4b2 + 4bc + c2 9bc  4b2 – 5bc + c2 0    4b2 – 4bc – bc + c2 0

    4b(b – c) – c(b – c)  0     ( b – c)( 4b – c)  0  (2).

Ta thấy b c   suy ra b – c  0 và 4b – c  a + b – c + 2b  0. Vậy (2) đúng.

Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.

Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, hãy chứng minh:

a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

Giải: Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên ta có :

0 < a < b + c  a2 < ab + ac. Tương tự ta có : b2 < ba + bc ; c2 < ca + cb.

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta được:

a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).   (Đpcm).

,

b,

Bài 3: Chứng minh  Trong đó 

Bài 4: Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có:

VII. Phương pháp 7: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

1. Kiến thức cơ bản

Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức: Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a,b 0

 Dấu “=” xảy ra khi a=b

Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a1, a2,….., an.

 Dấu “=” xảy ra khi a1=a2=…..=an

2. Bài tập mẫu

Bài 1: Cho n số dương a1, a2,….,an và a1.a2….an=1

Chứng minh rằng : ( 1 + a1). ( 1+ a2) …..( 1 + an)  2n

Giải: áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và ai, i = 1,2,3,….,n ta được:

( 1 + a1) , ( 1 + a2) ,……. , ( 1+ an)

Nhân vế với vế của các Bất đẳng thức trên ta được:

(1+a1) . ( 1+a2)…(1+an)

 do a1. a2…..an = 1.

Dấu “=” xảy ra khi 1=a1, 1=a2, …., 1= an

Bài 2: Cho a,b 0 chứng minh rằng 3a3 + 72 b3 18ab2

Giải: Do a, b 0 => 3a3, 9b3, 8b3 0

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 3a3,  9b3, 8b3. Ta được:

3a3+  9b3+ 8b3 

Dấu “=” xảy ra khi 3a3=  9b3= 8b3

Bài 3: Cho a>b>0 Chứng minh rằng

Giải: Ta thấy a=b+ ( a- b)  do a > b => a – b > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b, a – b,  ta được:

Với a>b>0 ta có  Dấu “=” xảy ra khi b=a-b=

  a=2 và b=1

Bài 4: Cho các số a1, a2, …., an thỏa mãn điều kiện : 0 <a  ai < b với i = 1, 2, …, n

Chứng minh rằng: ( a1 + a2+….+ an) (

Giải: Theo giả thiết ta có : 0 <a  ai < b =>  với i = 1,2,…,n

 a+ b do ai > 0 với i = 1, 2, .., n

Lần lượt cho i = 1, 2, .., n rồi cộng các vế lại với nhau ta được:

 (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số ta được:

    (2)

Từ (1) và (2) =>

 

       ( đpcm)

4. Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho a, b, c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh ( 1 + a-1)(1+b-1)(1+c-1) 64

Bài 2: Cho a, b, c, d, e > 0 và a=b+c+d+e =1.

Chứng minh rằng (-1+a-1)(-1+b-1)(-1+c-1)(-1+d-1)(-1+e-1) 1024

Bài 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD có diện tích là S. Gọi E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng SABE 0,25 S.

VIII. Phương pháp 8: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxky:

  1. Kiến thức: Cho 2n số a1, a2, ….., an; b1, b2, ….., bn ta luôn có:

Dấu “=” xảy ra khi

  1. Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho ba số x, y, z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1) + z(z-1)

Chứng minh rằng: x+y+z 4

Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky cho 6 số 1,1,1,x,y,z ta được:

   (1)

Ta có x(x-1) +y(y-1) +z(z-1) .  (2)

Từ (1) và (2) ta có:

. Đặt  S= x+y+z ta có:

. Vậy x+y+z  4

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=

Bài 2: Chứng minh rằng nếu phương trình: x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 có nghiệm thì  a2 + (b -2)2 > 3

Giải: Giả sử x = t là nghiệm của phương trình ta có: t  0 vì 0 không  là nghiệm của phương trình và t4 + at3 + bt2 + at + 1 = 0

  (1)

Đặt T= ( t +   do

Khi đó (1) trở thành T2 +aT + b -2 = 0  T2 = -( aT + b – 2)

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:

T4 = ( aT + b – 2 )2

Vậy a2+ (b-2)2 > 3  (đpcm)

  1. Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho a, b, c>0 và p=(a+b+c):2. Chứng minh rằng:

Bài 2: Cho n số bất kỳ a1, a2, …., an. Chứng minh rằng:

( a1+ a2 +…+an)2 n(

Bài 3: Cho a, b, c khác 0 . Chứng minh rằng:

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh trong một tam giác hãy chứng minh rằng:

a(2b + 2c – a)-1 + b( 2a + 2c – b )-1 + c( 2a + 2b – c )-11

Bài 5: Cho ax –by  m. Chứng minh rằng ax2 + by2 m2: ( a+ b)

Bài 6: Giả sử phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm  x =t

Chứng minh rằng t < 1 + a2 + b2

IX. Phương pháp 9: Phương pháp dùng tam thức bậc hai.

1. Kiến thức cần vận dụng:

Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a khác 0)

A, Nếu  = b2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0

B, Nếu  = 0 thì a. f(x) > 0 . Dấu “=” xảy ra khi x=-b:2a.

C, Nếu   0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 ta có :

x

               x1                                   x2

af(x)

     -         0             +            0           -

- Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a khác 0) tồn tại số t sao cho a.f(t)<0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < t < x2.

- Nếu tồn tại t, k sao cho f(t). f(k) < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong hai số t, k có một số nằm trong và một số nằm ngoài hai nghiệm.

2. Bài tập mẫu:

A. Dạng thứ nhất.

Để chứng minh ax2 + bx + c  0 ta đi chứng minh a> 0 và A =0

Bài 1: Chứng minh rằng: a, x2y4 + 2(x2+2)y2 + 4xy + x20

                                         b, a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b+c+d+e)

Giải : a, Ta có x2y4 + 2(x2+2)y2 + 4xy + x2  - 4xy30

Biến đổi tương đương ta được:

x2y4 + 2(x2+2)y2 + 4xy + x2  - 4xy30

 ( y2 + 1)2. x2 + 4y( 1-y2). x + 4y2   0

Ta thấy ( y2 + 1)2. x2 + 4y( 1-y2). x + 4y2   là tam thức bậc hai đối với biến x vì hệ số a = ( y2 + 1) 2 > 0.

Xét

 đúng

  =>

Vậy x2y4 + 2(x2+2)y2 + 4xy + x2 4xy3

B, a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b+c+d+e)

 a2 + b2 + c2 + d2 + e2   - a( b+c+d+e)   0

Ta coi a2 + b2 + c2 + d2 + e2 -  a( b+c+d+e) là tam thức bậc hai đối với biến a

Ta có hệ số a = 1> 0. Xét = ( b+c+d+e)2 – 4( b2 + c2 + d2 + e2)

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta được:

 đúng b, c, d, e

* a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b+c+d+e)

Dấu “=” xảy ra khi b = c= d = e, a = ( b+c+d+e ) : 2

B, Dạng thứ hai:

Để chứng minh b2 – 4ac = 0 ta chứng minh a.f(x)  0

Trong đó f(x) = ax2 + bx + c ( a khác 0)

Bài 2: Cho -1=x  0,5 và . Chứng minh rằng x2 + 3xy + 1 > 0

Giải: Đặt f(x) = x2 + 3xy + 1 ta có: = 9y2 -4 = (3y-2)(3y+2)

=><0 ó

 Theo bài ra ta có :

Bài 3: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x+y+z = xyz và x2 = xy

Chứng minh rằng x2 3

Giải: Theo bài ra ta có x+y+z = xyz và x2 = xy => x+y+z = x3 => y+z=x(x2-1)

Và yz=x2 => y, z là nghiệm của phương trình t2 + ( x-x3)t + x2 = 0 (1)

Xét =( x-x3)2 -4x2 = x2[ ( x2 – 1)2 – 4 ]  0 do (1) có nghiệm => (x2-1)2 - 4 0

ó (x2+1)(x2-3)  0 do ( x2+1)  0 ó x2 3

3. Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z = 5 và xy +xz +yz =8

Chứng minh rằng

Bài 2: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình:x2 + k.x + a = 0 ( a khác 0) . Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng  thức sau: ( x1: x2 )3 + ( x2 : x1)3 < 52

Bài 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2k.x + 4 = 0  ( a khác 0). Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức sau: ( x1: x2 )2 + ( x2 : x1)2 >3

X. Phương pháp 10: Phương pháp hình học:

1. Kiến thức cần vận dụng:

- Bất đẳng thức trong tam giác.

- Với 3 điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có AB + BC  CA

Dấu “=” xảy ra khi B nằm giữa A và C

Tổng quát: Cho n điểm bất kỳ A1, A2,…..,An ta luôn có

A1A2+A2A3+….+ An-1A1 A1An

Dấu “=” xảy ra khi các Ai i= 1,2,…,n-1 liên tiếp nằm giữa A1, An

2. Bài tập mẫu

Bài 1: Chứng minh rằng a,b ta có

Giải: Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm: A(0;-1); B(a;1); C(b;2); D(3;3)

Khi đó ta có AB=, BC=, CD=

AD= mà ta luôn có AB+BC+CD >AD

Vậy

Dấu “=” xảy ra khi B, C, D thẳng hàng theo thứ tự đó.

Bài 2: Cho 0<a, b, c  1 chứng minh a+b+c  1+ab+bc+ca

Giải: Xét tam giác đều ABC . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên AB, AC, BC sao cho AM=a, BP=b; CN=c. Khi đó diện tích của tam giác AMN là:

SAMN = 0,5.  AM . AN . sin A = 0,5 . a ( 1-b) sin 600 =

Tương tự ta có: SBMP =  và SCNP =

Mặt khác ta có SAMN + SBMP + SCNP S = 0,5 . AB. AC. Sin 600 =

 a+b+c  1+ab+bc+ca

3. Bài tập áp dụng:

Bài 1: Chứng minh rằng:

Bài 2: Cho a, b, c là đọ dài ba cạch của một tam giác a’, b’, c’ là ba chiều cao tương ứng chứng minh rằng : ( a+b+c)2 : ( a’2 + b’2 + c’2 )  4

Bài 3: Cho x, y thỏa mãn điều kiện 2x+y  2; 2x-y   2 và x+4  2y

Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + y2

Bài 4: Cho a  b   c  > 0. Chứng minh rằng :

Bài 5: Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Tiểu kết: Trên đây là một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức mặc dù chưa  được đầy đủ. Nhưng chúng ta đã biết trong chương trình toán cấp II học sinh chưa được học cụ thể và bài bản , mà chủ yếu Bất đẳng thức được tập trung ở các lớp luyện thi học sinh giỏi, các kỳ thi vào cấp III và thi vào đại học.

Do vậy người giáo viên phải thấy rằng bất đẳng thức được sử dụng rộng nên giáo viên hướng dẫn cho học sinh tổ chức các buổi học ngoại khóa và tự học ở nhà. Tùy từng đối tượng mà giáo viên đưa ra những phương pháp, những bài toán phù hợp với trình độ học sinh dễ cảm nhận, tiếp thu làm cho học sinh không cảm thấy gò bó khi học Bất đẳng thức.

Cần tạo cho học sinh tính linh hoạt không máy móc sử dụng một phương pháp có lời giải nhanh nhất. Mọi điều mà chúng ta thấy rằng khi chứng minh Bất đẳng thức thì cần vận dụng linh hoạt, kết hợp các phương pháp.

D. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.

    I. Giải phương trình

     1. Phương pháp giải: Để giải phương trình: A(x) = B(x)

Cách 1: Ta biến đổi phương trình về dạng g(x) = h(x) mà g(x)  a;  h(x)  a ( a là hằng số ) . Nghiệm của phương trình là các giá trị thỏa mãn đồng thời :

g(x) =a; h(x) = a

Cách 2: Ta biến đổi phương trình về dạng h(x) =m ( m là hằng số). Mà h(x)  m hoặc m  h(x) khi đó nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm dấu “=” xảy ra.

2. Các kiến thức cần nhớ.

- Bất đẳng thức Côsi.

- Bất đẳng thức Bunhicopxky.

- Bất đẳng thức Trebưsep.

- Một số bất đẳng thức khác.

- Các kỹ năng biến đổi tương đương, biến đổi đồng nhất.

3. Bài tập mẫu.

Bài 1: Giải phương trình:

Nhận xét: Thông thường khi giải bài tập có căn thức ta thường làm mất căn thức bằng cách sử dụng công thức  hoặc đưa về . Đối với bài toán này học sinh có thể tìm điều kiện rồi bình phương hai vế. Với các cách làm này thì phương trình đã cho tương đương với phương trình bậc cao hơn có thể không giải được. Vì thế nên ta tìm cách giải khác:

Ta thấy VP=4- 2x – x2 = 5 – ( x+ 1) 2 5 . Vì - ( x+ 1)2 0

Dấu “=” xảy ra khi x=-1.

Từ đó nghĩ đến việc đánh giá vế trái:

Ta có :  Dấu “=” xảy ra khi x =-1.

 Dấu “=” xảy ra khi x =-1.

Suy ra VT  5. Dấu “=” xảy ra khi x = -1. VT = 5  VP

Dấu “=” xảy ra khi x=-1.

Vậy nghiệm của phương trình là x = -1.

Bài 2: Giải phương trình :

Giải:

TXĐ:

Ta thấy VP = ( x-3)2 + 2  2 do ( x- 3)2 0

Dấu “=” xảy ra khi x=3 (*)

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky cho vế trái ta có:

VT=

Dấu “=” xảy ra khi x=3 (**).

Từ (*) và (**) suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: x=3.

II. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức.

Bài 1: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau:

Giải: Biểu thức nhận giá trị ó phương trình  (*) có nghiệm.

Do x2 + 1 >0 nên (*) ó x2 ( a- 2) – 4x + a- 5 = 0.

+ Nếu a= 2 thì phương trình có nghiệm x = -3; 4

+ Nếu a khác 2  (*) có nghiệm ó  = 4- ( a-2)(a-5)  0 ó a2 -7a + 6  0

ó 1 .

Nếu a = 1 thì x = -2.

Nếu a = 6  thì x = 0,5. Vậy giá trị nhỏ nhất của BT đã cho là 1 khi x=-2 và giá trị lớn nhất của BT đã cho là 6 khi x= 0,5.

Bài 2: Tìm GTNN và GTLN của Bt b =2x2 + 4xy + 5y2. Biết rằng x2 + y 2 = a (1)

Với a là hằng số  1.

Giải: Vì a  1 nên ta có b : a = (2x2 + 4xy + 5y2) : (x2 + y 2)   (*)

Nếu y = 0 thì b : a = 2  x

Nếu y khác 0 đặt x: y khi đó (*) trở thành b:a =

Theo bài 1 ta có :

Vậy GTNN của BT đã co là a khi x:y = -0,5 ó x=-2y thay vào (1) ta được:

III. Bài tập áp dụng:

Bài 1: Chứng minh rằng:

Bài 2: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:  

Bài 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:  biết x>0

Bài 4: Cho đường tròn ( O; R) và một điểm M thay đổi trên đường kính AB. Tìm vị trí của điểm M để tổng diện tích hai đường tròn đường kính MA và MB có diện tích nhỏ nhất.

Tiểu kết: Bất đẳng thức có ứng dụng rất nhiều trong việc giải toán ở bậc THCS. Việc sử dụng các bất đẳng thức với mỗi bài toán đòi hỏi phải có tính linh hoạt cao , mỗi bài có một nét riêng biệt, không tuân thủ theo một quy tắc chung nào cả. Vì vậy cần phải cho học sinh làm quen nhiều với dạng bài tập này. Làm được việc này sẽ góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi trong nhà trường nói riêng và chất lượng học sinh giỏi trong huyện nói chung.

E. KẾT QUẢ

    Thông qua một số bài toán về chứng minh bài toán về chứng minh bất đẳng thức học học sinh hiểu biết về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và từ những bài toán đơn giản, cơ bản học sinh đã khái quát lên được những bài toán mang tính chất tổng hợp hơn. Như vậy ta đi từ bài tập mang tính chất cơ bản rồi dần nâng cao lên thì hầu hết học sinh đều nắm được cách làm và hiểu bài.

     Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu và áp dụng, cụ thể tôi đã khảo sát chất lượng thực chất lớp 8C và lớp 9B:

bất đẳng thức

*/ Kết quả đạt được:

- Sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy, tôi đã khảo sát bằng một bài kiểm tra kết quả cụ thể như sau :

+ Kiểm tra lớp 8C - Tổng số học sinh: 45 học sinh

Lớp

Sĩ số

Số học sinh giải được

Số HS biết hướng nhưng không giải được

Số HS không thể giải được

SL

%

SL

%

SL

%

8C

45

36

80

6

13,3

3

6,7

+ Kiểm tra lớp 9B - Tổng số học sinh: 42 học sinh

Lớp

Sĩ số

Số học sinh giải được

Số HS biết hướng nhưng không giải được

Số HS không thể giải được

SL

%

SL

%

SL

%

9B

42

32

76,2

5

11,9

5

11,9

F. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

     Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS với yêu cầu đảm bảo nguyên tắc ôn tập kiểm tra được toàn diện và tổng hợp kiến thức đã học, ta cần kết hợp cả hai hình thức trắc nghiệm khách quan và tự luận nhằm giúp cho học sinh ôn tập kiểm tra được kiến thức cơ bản của chương mà còn giúp cho các em quá trình tư duy, khả năng suy luận, kỹ năng sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu, trình bầy lời giải một bài toán.

     Để hình thành và phát triển trí tuệ cho học sinh, chúng ta đã tiến hành nhiều biện pháp đổi mới nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh, tôi thấy cần đưa các bài tập trắc nghiệm khách quan vào các giờ ôn tập thay cho phần ôn tập lý thuyết trước đây, về một phương pháp trình bày khác với cách trình bày truyền thống trước đây ở chỗ giáo viên ôn tập khắc sâu phần lý thuyết qua hệ thống bài tập và cũng thông qua các hoạt động học sinh nhớ lại, xây dựng và củng cố các kiến thức đã có, phát hiện các kiến thức liên quan, vận dụng kiến thức vào các tình huống khác nhau, chính điều này phù hợp với quy trình học tập của học sinh góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt khi áp dụng cách này tôi thấy trong lớp với đối tượng học sinh còn chậm so với lớp rất nhiệt tình tham gia, điều quan trọng nó giúp cho giáo viên trên lớp tốn ít thời gian mà vẫn ôn tập được nhiều đạt hiệu quả cao vừa nhanh chóng phát hiện được kịp thời những sai sót của học sinh mắc phải, qua đó giúp các em nhìn thấy cái sai của bạn để tránh, vừa để nhớ, dễ thuộc khắc sâu được kiến thức cho học sinh và giải quyết các bài tập một cách thuận lợi, dễ dàng. Mặt khác thông qua các giờ ôn tập này, còn có tác dụng giáo dục học sinh tính cẩn thận, khả năng quan sát, có tinh thần thái độ học tập đúng đắn tạo cho các em sự đoàn kết gắn bó, yêu thích bộ môn, cao hơn nữa là góp phần phát triển khả năng tư duy lôgíc trong việc học toán.

     Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 8, 9 khi áp dụng các ôn tập trên thì tôi thấy hiệu quả học tập của học sinh tăng lên rõ rệt, tôi mạnh dạn đưa vấn đề này, các bài tập tôi đưa ra có thể chưa khai thác hết triệt để các tình huống nhưng nó là việc làm hữu ích cho cả cô giáo và học sinh.

thời tiết các vùng

Hà Nội
Đà Nẵng
TP Hồ Chí Minh

Bình chọn

Đánh giá thái độ tiếp công dân của cán bộ Một cửa quận