TIN TỨC KHÁC

Trường THCS Tân Mai: Bài toán cực trị trong vật lý trung học cơ sở
Ngày đăng 07/09/2019 | 11:01  | View count: 381

Sáng kiến kinh nghiệm: Bài toán cực trị trong vật lý trung học cơ sở

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

     I. Lý do chọn đề tài

     Môn vật lý chiếm một vị trí quan trọng trong hệ thống các môn học ở trường phổ thông, nó có nhiệm vụ cung cấp các kiến thức vật lý cơ bản phổ thông có hệ thống, góp phần phát triển năng lực tư duy khoa học, rèn luyện những kĩ năng cơ bản có tính tổng hợp. Đồng thời, môn vật lý  là một môn học rất thú vị với các học sinh yêu thích tìm hiểu về thế giới tự nhiên. Để tạo cho các em một sân chơi thể hiện đam mê của mình thì các phòng giáo dục cũng như sở giáo dục và đào tạo thành phố đã tổ chức kì thi học sinh giỏi các cấp. Bên cạnh đó, lớp 9 là lớp cuối cấp nên các em đã có định hướng cho mình trong việc chọn các trường trung học phổ thông để theo học. Một trong những sự lựa chọn được ưu tiên là khối các trường chuyên trên địa bàn thành phố. Và để đạt được các mục tiêu đó, ngoài sự đam mê với môn học thì các em cần có một kiến thức vững vàng cùng với các phương pháp học tập, phương pháp làm bài hiệu quả

      Tuy nhiên, trên thực tế, việc giải quyết các bài tập còn gặp nhiều khó khăn, học sinh còn gặp nhiều vướng mắc, bởi các dạng bài tập là rất phong phú. Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy rằng đa số các em còn lúng túng trong việc giải các bài tập về cực trị dù các em đã có các kĩ năng toán học khá tốt. Chính vì vậy, tôi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi cho bản thân là tại sao với nền tảng toán học đã có cùng với khả năng tư duy của mình mà các em lại lúng túng với các bài tập cực trị như vậy. Là một giáo viên tham gia vào việc giúp các em trong các kì thi học sinh giỏi cũng như kì thi vào các trường trung học phổ thông chuyên, tôi muốn tìm hiểu để nắm bắt được những tồn tại và khó khăn cần khắc phục để từ đó điều chỉnh phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp với đối tượng học sinh, cũng là để giúp học sinh có phương pháp học tập đạt kết quả cao. Vì vậy tôi chọn đối tượng nghiên cứu là các em học sinh khối 9 tham gia vào kì thi học sinh giỏi các cấp và các kì thi vào trường trung học phổ thông chuyên với nội dung nghiên cứu: "Bài toán cực trị trong vật lý trung học cơ sở".

     II. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu:

     Đối với các bài tập vật lý, việc giải bài tập cực trị đòi hỏi học sinh phải hiểu câu hỏi của đề bài, xác định ẩn số của bài toán và chọn đại lượng là ấn số cho phù hợp rồi trên cơ sở đó sử dụng kĩ năng và kiến thức toán thích hợp để tìm kết quả bài toán. Do đó, mục tiêu thiết thực của đề tài là tạo ra cho học sinh một cách nhìn khái quát về bài toán cực trị trong vật lý và cách ứng dụng các kiến thức toán học đã có để giải được các bài toán đó.

     Việc này không những hình thành cho học sinh những tri thức về các hiện tượng vật lý, kỹ năng và kỹ xảo nhất định mà còn phải đảm bảo tối đa sự phát triển trí tuệ, làm cho hoạt động tư duy của học sinh phát triển tích cực, độc lập, sáng tạo. Thông qua hoạt động này giúp rèn luyện kỹ năng tính toán, rèn luyện sự phát triển độc lập, sáng tạo của học sinh.

     III. Đối tượng nghiên cứu:

      Học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi và kì thi vào các trường trung học phổ thông chuyên trong phạm vi

     IV. Giới hạn phạm vi nghiên cứu:

      Giới hạn trong phần bài tập về cực trị trong môn vật lý trung học cơ sở

     V. Phương pháp nghiên cứu:

          - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Từ lý luận thực tiễn để phân tích đánh giá thực trạng.

          - Phương pháp nghiên cứu thực tế: Khảo sát, quan sát, trao đổi qua các hình thức và kết quả kiểm tra của giáo viên và học sinh.

          - Phương pháp thực nghiệm: Thực dạy trên lớp và tiến hành khảo sát học sinh.

          - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

     I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

     1. Về kiến thức:

     Khi giải các bài tập Vật lý, để tính giá trị cực đại hoặc cực tiểu của các đại lượng Vật lý, ta thường một số công thức, kiến thức của toán học. Thực tế, trong chương trình toán học THCS các em chưa được làm quen nhiều với các phương pháp hay các bất đẳng thức giúp giải quyết bài toán cực trị. Tuy nhiên, với các em học sinh khá, thì việc chứng minh cũng như áp dụng các kiến thức đó cũng khả thi. Vì vậy, giáo viên cần giới thiệu và phân tích cho học sinh một số kiến thức toán học sau:

  1. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):

Với các bài tập cực trị trong vật lý ở THCS thì bất đẳng thức Cauchy được sử dụng khá thường xuyên nhưng thường chỉ là với hai số. Do đó, học sinh cần biết về bất đẳng thức Cauchy với hai số. Bất đẳng thức như sau:

Với hai số không âm a và b, trung bình cộng của hai số luôn lớn hơn trung bình nhân của chúng ó 

  1. Hàm số bậc nhất y = ax + b

Hàm số bậc nhất y = ax + b là một hàm số đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0 nên trên tập số thực thì không có cực trị. Tuy nhiên, nếu bị giới hạn miền giá trị của biến thì hàm số có cực trị. Do vậy, có thể mô tả cho học sinh về bằng đồ thị khi hàm số có miền giá trị xác định để học sinh hiểu hơn về đồ thị hàm số và cực trị của hàm bậc nhất

Ví dụ:

Hàm số ở đồ thị có hệ số a > 0 và miền giá trị của biến là [x1;x2] nên giá trị của hàm số biến thiên trong đoạn[y1;y2] nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là y1 tại x1 và giá trị lớn nhất là y2 tại x2

  1. Tam thức bậc hai – Parabol

Do học sinh đã được làm quen với phương trình bậc hai, công thức nghiệm của phương trình bậc hai và parabol dạng y = a.x2 nên giáo viên có thể giới thiệu về tam thức bậc hai y= ax2 + bx + c và parabol ứng với hàm sốy = f(x) = ax2 + bx + c. Điều này sẽ giúp học sinh có một phương pháp hay để tìm cực trị, đồng thời giúp học sinh hiểu hơn về cực trị hàm số

Nhắc lại về Parabol y = ax2:

+ Dạng của Parabol:

Hàm số luôn có đồ thị đi qua gốc tọa độ 0(0;0) nên ta có trên tập số thực R:

Nếu a > 0, đồ thị có bề lõm hướng lên thì ymin = 0

Nếu a < 0, đồ thị có bề lõm hướng xuống thì ymax = 0

+ Trong các bài toán cực trị của vật lý thì giá trị của biến thường có miền giới hạn. Do đó, hàm số cũng có miền giá trị xác định nên cần xác định giá trị của hàm số tại biên của miền giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Ví dụ:

Miền giá trị của biến là [x1;x2] nên giá trị của hàm số biến thiên trong đoạn  [y1;y2] và từ đồ thị ta thấy ngay ymin = y2 và ymax = 0

Giới thiệu hàm số y = ax2 + c

Hàm số y = ax2 + c không được học trong chương trình toán học lớp 9 nhưng giáo viên hoàn toàn có thể giới thiệu và phân tích về đồ thị của hàm số này.

+ Dạng của đồ thị hàm số:

Từ đồ thị ta thấy trên tập R  :

  1.  
  2.  

Và học sinh cũng cần chú ý đến trường hợp biến có miền giá trị giới hạn

Giới thiệu hàm số y = ax2 + bx + c

Hàm số y = ax2 + bx + c không được nhắc đến trong chương trình toán học 9 nhưng lại có phần xây dựng công thức nghiệm của phương trình bậc 2. Do đó, giáo viên có thể dựa vào phần xây dựng trong sách giáo khoa toán học 9 để giúp học sinh hiểu được về cực trị của hàm số bậc 2:  y = ax2 + bx + c. 

Kết quả (2) rất quan trọng vì đây chính là một phương pháp tìm cực trị khá đơn giản. Khi gặp các bài toán cực trị, học sinh chỉ cần đưa biểu thức cần tìm về dạng tam thức bậc 2 và từ đó có thể kết luận được về cực trị của biểu thức. Bên cạnh đó, học sinh cũng cần chú ý đến miền giá trị của ẩn số, đặc biệt nếu chọn ẩn phụ thì việc phân tích miền giá trị của ẩn số rất quan trọng

  1. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0

Trong chương trình toán học 9, học sinh đã được học về công thức nghiệm của phương trình bậc 2 và các trường hợp có nghiệm, vô nghiệm hay nghiệm kéo của phương trình bậc hai với điều kiện của biệt thức Δ. Chính vì vậy, ở một số bài toán khó, biểu thức rất khó tìm cực trị như biểu thức dạng phân thức hay có chứa căn thì có thể sử dụng điều kiện này để giải bài toán cực trị. Cụ thể các bước làm như sau:

Đặt tên cho biểu thức cần tìm cực trị (ví dụ: M = f(x) )

Coi M là tham số. Biến đổi biểu thức thành phương trình và đưa về phương trình bậc 2 với tham số M

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình: Δ ≥ 0 => đưa ra điều kiện của M và kết luận về cực trị của M kết hợp với miền giá trị của ẩn

          2. Về kĩ năng

 Ngoài các kiến thức toán học trên, để tìm được các biểu thức một các chính xác thì học sinh cần có các kĩ năng như: biến đổi biểu thức đại số, chọn ẩn thích hợp ( có thể chọn ẩn trực tiếp hoặc ẩn phụ), sử dụng máy tính cầm tay… Đó là các kĩ năng cơ bản, cần thiết và giúp cho việc giải bài tập trở nên chính xác và nhanh chóng hơn.

Trên đây là các kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết để áp dụng vào bài toán cực trị. Việc trình bày, phân tích cho học sinh các bài toán trên sẽ giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát và trực quan hơn ( khi phân tích đồ thị các hàm số) nên sẽ dễ dàng hình dung về sự biến thiên của biểu thức cũng như các giá trị cực trị của nó.  Sau đây là một số ví dụ cụ thể về các bài toán cực trị cùng với các sai lầm của học sinh và các giải pháp của tôi đã tiến hành giúp học sinh.

II. TÌNH TRẠNG THỰC TẾ

Bài 1. Một điểm sáng S đặt trên trục chính của thấu kính và trước một màn E như hình vẽ. Khoảng cách giữa S và màn là L = 45 cm. Đặt giữa S và E một thấu kính hội tụ có tiêu cự f = 20 cm. Xác định vị trí đặt thấu kính để vùng sáng trên màn tạo bởi các tia khúc xạ qua thấu kính có diện tích nhỏ nhất.

(Biết rằng: ; trong đó d là khoảng cách từ thấu kính tới vật sáng, d' là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh thật của vật).

Phân tích:

+ Yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức hình học để tìm ra biểu thức tính diện tích vùng sáng theo các đại lượng đã biết và ẩn số là vị trí của vật so với kính (d).

+ Ta cần biến đổi để tìm ra biểu thức giúp tính được diện tích vùng sáng trên màn rồi từ đó sử dụng các kiến thức toán học ở trên để tìm cực tiểu

- Xét nửa trên trục chính của thấu kính

- Chứng minh được :

+ Hướng dẫn học sinh chú ý: để sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì không thể để biểu thức dưới dạng phân thức => cần khử ẩn ở tử hoặc mẫu. Do đó, hướng dẫn học sinh chia cả tử và mẫu cho d thì ta được biểu thức sau:

Nhận xét: Học sinh cần sử dụng bất đẳng thức Cauchy một cách linh hoạt, tránh máy móc. Ở bài toán này, nếu để biểu thức 1.1 dưới dạng sau:

Thì việc tìm được min của MN sẽ rất khó khăn.

Bài 2. Đặt một vật sáng AB song song với một màn ảnh E và cách màn một khoảng là L. Sau đó, đặt vào khoảng giữa vật và màn ảnh một thấu kính hội tụ sao cho trục chính của thấu kính vuông góc với  màn ảnh và đi qua vật. Khoảng cách ngắn nhất giữa vật và màn là bao nhiêu để có thể tạo ảnh rõ nét trên màn

Phân tích:

+ Sử dụng công thức thấu kính để lập phương trình xác định vị trí của vật so với kính ta có

Vì vật cho ảnh rõ nét trên màn nên: d’ =

mà d + d’ = L       =>               d2 – Ld + Lf = 0             (2.1)

Để có vị trí cho ảnh rõ nét trên màn thì phương trình (2.1) phải có nghiệm hay Δ ≥ 0 ó L ≥ 4.f

khoảng cách ngắn nhất giữa vật và màn phải là L = 4f thì mới có thể cho ảnh rõ nét trên màn

Nhận xét: Bài toán trên là một ví dụ về  sử dụng điều kiện của biệt thức Δ sao cho phương trình có nghiệm vào việc tìm cực trị. Đây là một ví dụ đơn giản nhưng giúp học sinh tiếp cận một phương pháp mới (ít dùng) để tìm cực trị.

Bài 3 ( trích đề TS vào 10 trường chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An):

Hai sợi dây dẫn điện đồng chất tiết diện đều, có cùng chiều dài L, có điện trở lần lượt là R1 và R2 (R1 ≠ R2). Hai dây được uốn thành hai nửa vòng tròn rồi nối với nhau tại A và B tạo thành đường tròn tâm O. Đặt vào A1, B1 một hiệu điện thế không đổi U, với độ dài các cung A1A và B1B đều bằng x (Hình 1). Bỏ qua điện trở của các dây nối từ nguồn đến A1 và B1.

  1. Tính cường độ dòng điện trong mạch chính theo x, L, R1 và R2.

  2. Xác định x theo L, để cho cường độ dòng điện mạch chính đạt:

    a) Cực tiểu.

    b) Cực đại.           

Phân tích:

Sử dụng các kĩ năng phân tích mạch điện và biến đổi biểu thức ta được biểu thức cường độ dòng điện trong mạch chính như sau:

Khi học sinh biến đổi được ra biểu thức (3.1) thì sẽ rất bối rối do không biết bắt đầu từ đâu để có thể tìm được Imin và Imax giải pháp thường được chọn là nhân hai biểu thức ở mẫu để đưa về dạng tam thức bậc 2. Khi đó, việc biến đổi trở nên cồng kềnh và dễ mắc sai lầm. Do vậy, giáo viên có thể phân tích cho học sinh như sau:

+ Quan sát biểu thức ở mẫu ta thấy trong hai nhân tử đều có

Vậy cường độ dòng điện mạch chính đạt cực tiểu khi x =

+ Để I đạt max ta thì phải có (R1+ X)(R2-X) đạt min khi 0 ≤ x ≤ L

Hướng dẫn học sinh tìm min của mẫu như sau:

- Xét hàm số f(X) = (R1+ X)(R2-X) = -X2 + (R2 - R1)X + R1.R2

- Vì f(X) là hàm số bậc 2 có hệ số a = -1< 0 nên đồ thị là một phần parabol quay bề lõm xuống dưới.

 - Xét ở hai cận x = 0 và x = L thì tương ứng X = 0 và X = R2 - R1 khi đó f(X) đều bằng nhau, đạt cực tiểu và bằng f(X) min = R1R2

=>  Vậy I max khi x =0 hoặc khi x = L nghĩa là khi A1 trùng A; B1 trùng B hoặc A1 trùng B; B1 trùng A

Và ta có thể minh họa bằng đồ thị giúp học sinh trực quan hơn như sau

Nhận xét : Qua ví dụ này ta thấy được cách suy nghĩ và làm bài của học sinh thường là đi vào một “lối mòn” – chọn trực tiếp đại lượng được hỏi là ẩn. Điều này làm cho bài tập trở nên rất khó khăn. Vì vậy, cần chú ý chọn ẩn phụ thích hợp sao cho bài toán đơn giản hơn. Sau đây là một ví dụ thứ hai để thấy rõ hơn điều này

Bài 4. ( trích đề TS vào 10 PT chuyên Nam Định)

Cho mạch điện như hình vẽ :

R1 = 3 , R2 = 2 , MN là biến trở với           RMN = 20 . Vôn kế V và các ampe kế A1, A2 là lí tưởng. Bỏ qua điện trở dây dẫn.

Cho UAB = 18 V. Phải đặt con chạy C ở đâu để công suất tiêu thụ trên biến trở là lớn nhất? Tính công suất đó.

=> Nhận xét: cách giải trên làm cho biểu thức được biến đổi trở nên cực kì cồng kềnh và bài toán quá phức tạp, học sinh dễ mắc sai lầm khi tính toán. Hơn nữa, khi biến đổi đến bước:  thì không phải học sinh nào cũng nhận ra là chia cả tử và mẫu cho (20x - x2) để từ đó tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy như cách giải trên. Do đó, giáo viên có thể hướng dẫn cách chọn ẩn phụ đơn giản hơn như sau:

Bài 5. (trích đề HSG tỉnh Nghệ An)

Bạn Bình chạy từ điểm A trên đường cái đến điểm B trên cánh đồng như hình 1. Điểm B cách đường cái một khoảng BD = l = 240m; AD = 320m. Biết tốc độ tối đa của bạn trên đường cái là v1 và trên cánh đồng là v2 = 0,6v1. Bạn Bình chạy trên đường cái một đoạn AC rồi mới chạy trên cánh đồng theo đường thẳng CB. Cho rằng bạn luôn chạy với tốc độ tối đa, vị trí nào của C sẽ giúp Bình tới B nhanh nhất?

Nhận xét: khi gặp biểu thức có chứa căn thức hay phân thức thì việc tìm max, min là rất khó. Trong tình huống này, học sinh nên nghĩ đến phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 thì bài toán sẽ dễ dàng hơn

     III. BÀI HỌC KINH NGHIỆM

     1. Kinh nghiệm cụ thể

- Để giúp HS hứng thú và đạt kết quả tốt trong việc giải toán cực trị trong vật lý, điều cơ bản nhất mỗi tiết dạy giáo viên phải tích cực, nhiệt tình, truyền đạt chính xác, ngắn gọn nhưng đầy đủ nội dung, khoa học và lô gích nhằm động não cho HS phát triển tư duy, độ bền kiến thức tốt.

Thường xuyên nhắc nhở động viên các em áp dụng nhiều hướng đi cho các bài tập đã làm, tránh sự rập khuôn hay “lối mòn” và từ đó có nhiều “con đường” đến với kết quả của bài toán hơn

     2. Sử dụng sáng kiến kinh nghiệm

     Sau 2 năm áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy cho các học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi cũng như thi vào 10 chuyên vật lý, tôi nhận thấy các em đã tự tin hơn với các bài tập cực trị. Hơn nữa, nhiều em đã linh hoạt vận dụng các phương pháp tìm cực trị cho các bài tập mặc dù đã tìm ra kết quả bằng một phương pháp. Cùng với đó, việc các em có tư duy về các bài toán dưới dạng đồ thị đã đem lại một sự thuận lợi lớn cho các dạng bài tập khác trong quá trình học tập.

     Tôi hi vọng rằng, với các kĩ năng có được trong quá trình học tập, các em sẽ có một nền tảng vững chắc cũng như một tâm lý tự tin khi tham gia vào các kì thi và qua đó sẽ đạt được kết quả tốt hơn.

C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

     I. Kết luận

     Trên đây tôi đã trình bày những suy nghĩ của mình về một số phương pháp giải bài tập cực trị trong vật lý THCS một cách hiệu quả. Tuy nhiên trong đổi mới phương pháp dạy học vật lý tôi gặp không ít khó khăn và chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế. Tôi rất mong sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp để phương pháp thực hiện được tốt hơn, hoàn cảnh hơn nhằm nâng cao chất lượng dạy và học đáp ứng nhu cầu của xã hội trong thời kì đổi mới.

     II. Kiến nghị

- Cần trang bị đầy đủ cơ sở vật chất, trường lớp cho các trường đặc biệt là thiết bị về công nghệ thông tin.

- Tạo mọi điều kiện để giáo viên tự học tập nâng cao chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân.

- Tạo cho con, em mình có thời gian đầu tư vào việc học tập, thường xuyên quan tâm, an ủi động viên con cái trong học tập.

- Thường xuyên liên hệ với giáo viên và nhà trường để biết được tình hình học tập của con em mình.

thời tiết các vùng

Hà Nội
Đà Nẵng
TP Hồ Chí Minh

Bình chọn

Đánh giá thái độ tiếp công dân của cán bộ Một cửa quận